La física moderna da con la clave de un problema geométrico que traía de cabeza a Descartes

Un problema sin solución durante casi cuatro siglos ha sido resuelto usando herramientas ideadas para explicar el comportamiento de partículas subatómicas. De esta manera, en pleno siglo XXI, conceptos de la física cuántica han servido para resolver un enigma planteado por uno de los grandes nombres de la filosofía moderna.

La conexión entre ambos mundos no nace de una coincidencia, sino de una estrategia radicalmente distinta a todo lo que se había intentado antes. El hallazgo no solo reescribe una vieja página de la historia de las matemáticas, también confirma que los caminos entre disciplinas pueden cruzarse de forma inesperada y brillante. Y todo parte de una fórmula tan esquiva como elegante.

Una nueva perspectiva desde la física cuántica

El misterio se arrastraba desde 1643, cuando René Descartes propuso un problema sobre círculos tangentes en una carta a la princesa Isabel del Palatinado. Aunque parecía encajar con su sistema de coordenadas recién formulado, pronto comprendió que no era tan sencillo.

Reformuló el planteamiento para hacerlo más manejable, lo que dio origen al conocido Teorema de los Cuatro Círculos, que establece que los radios de cuatro círculos mutuamente tangentes cumplen una relación cuadrática (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²). Lo que nunca consiguió fue encontrar una fórmula general para más de cuatro.

Esa limitación se mantuvo durante generaciones, hasta que Daniel Mathews y su alumno Orion Zymaris, de la Universidad de Monash, decidieron mirar en una dirección completamente diferente.

En lugar de limitarse a la geometría clásica, aplicaron espinores, unas estructuras matemáticas procedentes de la física teórica, que permiten describir rotaciones de forma que los vectores tradicionales no pueden.

Lo más singular de los espinores es que requieren un giro completo de 720 grados para volver a su estado original, lo que los convierte en herramientas naturales para explicar fenómenos cuánticos como el espín.

Una solución general con una fórmula inédita

El avance, publicado en Journal of Geometry and Physics, resuelve por primera vez el problema original con una ecuación general para cualquier número de círculos tangentes en el plano. La técnica empleada no solo extiende el teorema, también lo transforma.

Según explican los autores, “usamos una versión de espinores desarrollada por Roger Penrose y Wolfgang Rindler, que aplicaron a la teoría de la relatividad”, lo que permitió representar cada círculo como una entidad algebraica coherente bajo ciertas transformaciones geométricas. Esa representación ha sido la clave para derivar en una solución completa al problema que Descartes dejó abierto.

Lejos de tratarse de una simple curiosidad histórica, el trabajo toca ideas profundas que combinan geometría, física y filosofía. La configuración resultante, llamada flores de n-círculos, describe agrupaciones complejas donde todos los círculos son mutuamente tangentes.

La solución aportada permite calcular cualquier disposición sin necesidad de simetrías ni limitaciones de número. Es la primera vez que se consigue una fórmula explícita para este tipo de configuraciones.

Un recorrido por los intentos previos de resolución

La historia tuvo un momento curioso en 1936, cuando el químico y premio Nobel Frederick Soddy publicó una versión poética del teorema original en la revista Nature, titulada The Kiss Precise. En uno de sus versos afirmaba: “La suma de los cuadrados de las cuatro curvaturas es la mitad del cuadrado de su suma en figuras”. Su intervención no resolvió el problema general, pero dio popularidad al teorema y lo extendió al espacio tridimensional, aplicándolo a esferas tangentes.

Más adelante, el británico Thorold Gosset lo llevó aún más lejos, generalizándolo a dimensiones superiores. Aunque sus aportaciones ampliaron el marco, el vacío central seguía sin cubrirse: nadie había hallado una ecuación general para cualquier número de círculos en el plano. El trabajo del equipo australiano llena por fin ese hueco.

Además del valor matemático, la investigación destaca por su método interdisciplinar. El grupo de topología de Monash, que hoy cuenta con nueve doctorandos —cinco de ellos mujeres—, ha convertido la colaboración entre distintos niveles de experiencia en un activo fundamental. Su dinamismo queda reflejado en resultados como este, que unen geometría con física de frontera.

Que un problema planteado por un filósofo del siglo XVII encuentre solución gracias a la física del siglo XXI demuestra que las ideas, cuando son fértiles, no caducan. Simplemente esperan el momento y la mirada adecuada para completarse.