El truco matemático del MP3, el JPEG y la cara de Homer Simpson
En el instituto, seguro que eras uno de aquellos que caían en un sueño profundo cada vez que llegaba la clase de matemáticas. Números y letras bailaban una danza que emocionaba a tu profesor, mientras que a ti la coreografía sólo te producía una terrible somnolencia.
Pues amigo, aunque te pueda parecer extraño, las matemáticas no son del todo aburridas. De hecho, una de las peculiaridades que tiene esta ciencia estriba en el uso de trucos que facilitan la resolución de problemas complejos y su aplicación en el mundo real. Porque a los matemáticos tampoco les gusta complicarse la vida.
Algunos de estos trucos toman forma en campos como la física o la informática. En este último mundo, una de las herramientas matemáticas que se han utilizado con frecuencia ha sido la transformación de Fourier. Un descubrimiento matemático que caracteriza el funcionamiento del formato MP3 y el JPEG, además de representar la actividad básica de la popular aplicación Shazam.
Pero vayamos por partes. ¿En qué consiste el truco de Fourier? De acuerdo con el físico Aathis Bhatia, es la herramienta que te dice cuánto de cada una de las ondas que forman una onda más grande tienes que coger para recomponer esa última onda. Y quién dice una onda, dice también una circunferencia. ¿Dónde está la gracia? En la multitud de aplicaciones que posee.
Pero volvamos a los orígenes del truco, que ha visto ya unas cuantas primaveras. Hace 200 años, dos de las grandes preocupaciones que tenían los físicos y matemáticos eran, por un lado, el problema de la cuerda vibrante - o, dicho de otro modo, cómo se propagaba el sonido en un medio elástico - y, por el otro, la determinación de las órbitas de los planetas.
El origen del truco de Fourier está alejado de estos problemas. En 1804 comenzó a estudiar la conducción del calor de los sólidos. El resultado le llevó a la creación de las ‘series de Fourier’ y de su truco, la transformada de Fourier, introducida al estudiar cómo conducía el calor una barra de longitud infinita.
Años más tarde, los científicos de la época empezaron a utilizar el truco para solucionar las dos grandes cuestiones que les atormentaban. Y aún hoy día se halla en el engranaje básico de muchas herramientas tecnológicas.
Un ejemplo lo encontramos en el formato MP3. Éste utiliza una variante de la transformación de Fourier, la Transformada de Fourier discreta (DFT, en sus siglas en inglés). Para convertir un archivo WAV en este formato, el MP3 divide la canción en varios pedazos. Para cada pedazo de audio, el truco toma las ondas y averigua cuánto de cada onda – y de cada nota - necesitamos para recomponer la onda principal. El MP3 coge las notas esenciales para recomponer ese pedazo de canción y desecha las que no son necesarias, que suelen ser las notas agudas. ¿Qué consigue con ello? La función básica del formato MP3: ocupar menos espacio.
Otra muestra la hallamos en el JPEG. Una de los métodos utilizados para comprimir imágenes deriva, precisamente, de la transformada de Fourier. En lugar de ondas, aquí hablamos de círculos. En este caso, el truco de Fourier te indica qué círculos - y a qué velocidades - debes coger para reconstruir una onda, sea de la forma que sea.
Es necesario saber, por otro lado, que los círculos, todos ellos de diferentes tamaños, acogen en su borde círculos más pequeños. Pues bien, con el JPEG la imagen se divide en porciones de 8x8 píxeles. Al igual que el MP3 desecha las notas agudas, el JPEG elimina de cada una de esas porciones los círculos más pequeños, que no afectarán a la recomposición de la porción y, por ende, de la foto. En realidad es más sencillo de lo que parecía, ¿no crees?
Shazam, la popular 'app' que reconoce canciones mientras suenan, también se sirve de la transformada del matemático francés. Esta aplicación divide la pieza musical en diferentes porciones para, a continuación, analizar las notas que componen cada una de ellas. Una vez analizada, busca en su base de datos una canción que contenga las mismas notas colocadas de la misma forma. ¡Tachán! Así es capaz de decirte el nombre del temazo que está poniendo el DJ en la discoteca.
En lo que respecta a las imágenes, JPEG no es la única herramienta que goza de las virtudes de este truco matemático. Aplicando la transformación en circunferencias se pueden reconstruir rostros, tal y como hace la enciclopedia y motor de búsqueda matemático Wolfram Alpha, o como se ha hecho con la cara del mismísimo Homer Simpson.
Ahora sí que no pudes decir que las matemáticas son aburridas. Estudia un poco, anda, que tú también puedes hacer chuladas como esta.
